TENTANG TIME SERIES

1.        Time Series

Time series adalah suatu rangkaian tersusun dari pengamatan. Meskipun biasanya tersusun berdasarkan urutan waktu, terutama pada beberapa interval waktu yang sama, penyusunan data juga dapat berdasarkan dimensi lainnya, misalnya jarak (Wei, 2006). Time series dapat diterapkan pada berbagai macam bidang, seperti misalnya bidang ekonomi, pariwisata, bisnis, teknik, geofisika, meteorologi, dll.

Time series merupakan suatu contoh dari proses stokastik. Menurut Wei (2006), proses stokastik adalah keluarga dari waktu yang diindekskan oleh variabel random  dimana  adalah ruang sampel dan t adalah indeks waktu. Fungsi distribusi dari variabel random  adalah :

    

2.2        Stasioneritas

Dalam peramalan (Abraham dan Ledolter, 1983), data dapat diolah jika telah memenuhi asumsi stasioner dalam mean maupun varians. Stasioner yang dimaksudkan adalah distribusi probabilitas pada waktu  harus sama dengan distribusi probabilitas pada waktu . Distribusi marginal waktu t sama dengan suatu titik waktu yang lain. Dengan kata lain, distribusi marginal tidak bergantung pada waktu dimana  dan  konstan.

Menurut Wei (2006), jika data tidak stasioner dalam mean, maka dapat dilakukan differencing. Namun banyak data deret berkala stasioner dalam mean tetapi tidak stasioner terhadap varians. Untuk mengatasi masalah ini diperlukan transformasi varians. Transformasi yang digunakan adalah :

                                                          

2.3        Autocovariance dan Autocorrelation Function (ACF)

Proses stasioner mempunyai mean , varians _­ yang konstan dan kovarians  yang merupakan fungsi dari beda waktu |t-s|. Persamaan dari kovarians antara  dan adalah :

                  

                                   

dimana Var(Z_t) = Var(Z_t+k) = γ₀, γ_k adalah fungsi autokovarians, dan ρ_k adalah fungsi autokorelasi (ACF) dalam analisis deret waktu karena kedua fungsi tersebut mewakili kovarians dan korelasi antara Z_t dan Z_t+k dari proses yang sama dan dipisahkan oleh lag waktu k.

Proses yang stasioner (Wei, 2006) dapat diketahui dari fungsi autokovarians γ_k dan autokorelasi ρ_k, yaitu :

1.      γ₀ = Var(Z_t) ; ρ₀ = 1

2.      | γ_k| ≤ γ₀ ; | ρ_k| ≤ 1

3.      γ_k = γ_-k dan ρ_k = ρ_-k

2.4        Partial Autocorrelation Function (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial (Wei, 2006) digunakan untuk menghitung keeratan hubungan antara Y_t dan Y_t+k setelah dependensi linier dalam variabel Y_t+1, Y_t+2, ..., Y_t+k-1  dihilangkan.

                     

atau

                                 

dimana P_k = adalah autokorelasi parsial. Dalam literatur lain, fungsi autokorelasi parsial juga dapat dinotasikan .

2.5        Metodologi Box-Jenkins

Metodologi Box-Jenkins meliputi model non-musiman dan model musiman. Telah disebutkan sebelumnya bahwa sederetan data asli   harus ditransformasikan terlebih dahulu menjadi nilai yang stasioner . Dua tipe model Box-Jenkins yang dikenal adalah model autoregressive dan moving average (Bowerman, dkk.,2005).

Model non-musiman terdiri dari AR (p), MA (q), ARMA (p,q), dan ARIMA (p,d,q). Dari keempat model tersebut, dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu model stasioner dan model non-stasioner. AR(p), MA(q), dan ARMA (p,q) merupakan model stasioner. Sedangkan ARIMA (p,d,q) adalah model non-stasioner.

Secara umum, model Box-Jenkins adalah:

                         

dimana

  = adalah koefisien komponen AR non musiman dengan orde p

=  Koefisien komponen AR musiman s dengan orde P

    =    adalah koefisien komponen MA non musiman dengan orde q

=   Koefisien komponen MA musiman s dengan orde Q

           =  Error white noise,

           =  Operator Backward

  =  Pembedaan tak musiman dengan orde pembedaan tak musiman d

= Pembedaan musiman dengan orde D      

Jika order s dalam persamaan diatas adalah nol, maka persamaan tersebut merupakan model non-musiman. Sebaliknya, jika order s pada persamaan tersebut besarnya tidak nol, maka persamaan tersebut merupakan model musiman.

2.6        Tahapan Metodologi Box-Jenkins

Adapun tahapan dari metodologi Box-Jenkins yang diuraikan oleh Wei (2006) adalah sebagai berikut.

a.       Identifikasi model

Langkah ini merupakan langkah awal dari metode Box-Jenkins. Data asli yang akan dimodelkan terlebih dahulu diplotkan. Hal ini dilakukan untuk mengetahui pola data, apakah stasioner atau tidak, atau terdapat pola musiman. Selanjutnya, untuk memperkuat dugaan tentang kestasioneran dan adanya musiman serta menentukan model awal dapat dilihat dari plot ACF dan PACF. Jika ditemukan bahwa data tersebut tidak stasioner, maka dilakukan transformasi yang tepat sehingga data tersebut menjadi stasioner terhadap mean dan varians. Setelah melakukan transformasi data, langkah selanjutnya adalah membuat ACF dan PACF data yang telah stasioner untuk mendapatkan order p dan q dari model.

b.      Estimasi parameter

Dalam pemodelan time series, dikenal beberapa metode penaksiran. Namun, dalam penelitian ini, metode penaksiran yang dipakai adalah Maximum Likelihood Bersyarat (Conditional Maximum Likelihood). Model umum ARMA (p,q) adalah

      

dimana dan adalah i.i.d.N(0, ) white noise, probabilitas bersama dari yang diberikan oleh

              

Dengan penulisan kembali (2.8) sebagai

            

maka persamaan (2.10) dapat digunakan untuk menguraikan fungsi likelihood dari parameter

      Misal dan asumsi kondisi awal dan diketahui. Fungsi conditional log-likelihood

                       

dimana

                      

adalah fungsi jumlah kuadrat bersyarat. Kuantitas daridan yang berasal dari memaksimumkan persamaan (2.11), disebut estimator maximum likelihood bersyarat.

      Setelah memperoleh estimasi parameter untuk kemudian dilanjutkan dengan mengestimasi nilai  dari yang dihitung dari

dimana jumlah derajat bebas d.f. sama dengan jumlah suku penjumlahan daridikurangi jumlah parameter.

c.       Pengujian Model

Pemodelan time series merupakan prosedur iterasi. Setelah mendapat nilai dugaan parameter, tahap selanjutnya adalah menguji apakah asumsi model dipenuhi. Suatu model time series harus memenuhi asumsi white noise, residual berdistribusi normal, dan varians homogen (konstan).

d.      Kriteria Pemilihan Model

Pada penelitian ini, kriteria pemilhan model terbaik yang digunakan adalah kriteria AIC (Akaike’s Information Criterion).

AIC(M) = -2 ln[maximum likelihood] +2M

                             

dimana  M adalah jumlah parameter dari model, n adalah banyaknya pengamatan, dan adalah taksiran varians residual. Order optimal dari model dipilih dari nilai M, yang merupakan fungsi dari p dan q, sehingga AIC minimum.

2. 8 Pengertian ARIMA

Model ARIMA (p,d,q) merupakan campuran antara AR(p), MA(q) yang telah distasionerkan dengan melakuka n pembedaan sebanyak d kali. Telah dijelaskan bahwa tidak  mudah menentukan p dan q. Box dan Jenkins menawarkan 4 (empat) tahapan berikut untuk menentukan p,d dan q.

1.      Identifikasi

Mencari atau menentukan p,d dan q dengan bantuan korelogram

dan korelogram parsial.

2.      Estimasi

Setelah p dan q ditentukan, mengestimasi parameter AR dan MA yang ada pada model. Estimasi ini bisa menggunakan teknik kuadrat terkecil sederhana maupun dengan metode estimasi tidak linier. Untungnya, sudah ada software yang menghitungnya sehingga kita tidak perlu  mempelajari teknik estimasi yang relatif komplek.

3.      Tes Diagnostik

Setelah model ARIMA nya ditentukan, parameternya telah diestimasi, kemudian kita akan cek aakah model ARIMA lain yang lebih cocok atau sama cocoknya dengan model terpilih. Salah satu tes yang dapat dilakukan adalah dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan white noise atau tidak.

            Jika residual berupa white noise, berarti model terpilih cocok dengan data. Sebaliknya bila residual tidak berupa white noise, berarti kita harus melakukan pilihan ulamg dari awal lagi. Oleh sebab itu, metodologi Box-Jenkins disebut juga suatu proses iterasi.

4.      Ramalan

Secara umum dan pada banyak hal, ramalan yang diperoleh  dengan menggunakan model ARIMA lebih reliabel bila dibandingkan dengan ramalan yang menggunakan model ekonometri biasa.

Rincian Tahapannya yaitu sebagai berikut.

1.      Tahap Identifikasi

Seperti yang telah didiskusikan terdahulu, alat utama untuk identifikasi model ARIMA adalah Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) melalui korelogramnya. ACF mengukur korelasi antar pengamatan dengan jeda k, sedangkan PACF mengukur korelasi antar pengamatan dengan jeda k dan dengan mengontrol korelasi antar dua pengamatan dengan jeda kurang dari k. PACF adalah korelasi antara y_t dan y_t-k setelah menghilangkan efek y_t yang terletak diantara kedua pengamatan tersebutβ Ingat bahwa dalam regresi berganda, k mengukur tingkat perubahan terhadap y bila x_k berubah satu unit dengan β menganggap regresor lainnya konstan. k disebut juga koefisien regresi parsial. Acuan model ACF dan PACF sebagai berikut.

Model	Pola ACF	Pola PACF
AR (p)	Menyusut secara eksponensial atau pola gelombang sinusoidal yang tidak begitu jelas	Ada tiang pancang sampai lag p
MA (q)	Ada tiang pancang yang jelas sampai lag q	Menyusut secara eksponensial
ARMA (p,q)	Menyusut secara eksponensial	Menyusut secara eksponensial

2.      Tahap Estimasi Model ARIMA

Dari proses identifikasi, kita menduga bahwa series yang dianalisis merupakan proses ARIMA  maka modelnya sebagai berikut:

Yt = δ + a₁ Y_t-1 + a₂ Y_t-2 + . . .+ e_t

3.      Tahap Tes Diagnostik

Untuk meyakinkan apakah ARIMA merupakan model  yang cocok dengan data yang dianalisis, kita perlu menguji apakah residual dari model tersebut merupakan white noise  (random) atau tidak.  Untuk itu lakukan tahapan sebagai berikut.

     i.      Estimasi model ARIMA

   ii.      Hitung residual dari model tersebut

 iii.      Hitung ACF dan PACF kemudian plot

 iv.      Uji apakah ACF dan PACF signifikan signifikan, ini merupakan indikasi 

   v.      Bila ACF dan PACF tidak signifikan, ini merupakan indikasi bahwa residual merupakan white noise yang artinya modelnya telah cocok.

4.      Tahap Peramalan

yaitu menuliskan modelnya dan mengevaluasi nilai MSE.